В задачах 5.32-5.35, 5.39-5.41 нужно решить следующие неравенства: 5.32. 1) квадрат х меньше 9; 3) квадрат разности 3х
В задачах 5.32-5.35, 5.39-5.41 нужно решить следующие неравенства: 5.32. 1) квадрат х меньше 9; 3) квадрат разности 3х и 5 меньше 1; 5) квадрат разности х и 7 плюс 1 больше 0; 2) квадрат х меньше или равен 4; 4) квадрат разности 2 и 5х меньше или равен 16; 6) 49 минус квадрат суммы 3х и 2 меньше или равен 0.
Ответ:
Перепишем неравенство в виде двух равенств:
x^2 — 9 < 0
(x — 3)(x + 3) x = 3
x + 3 = 0 => x = -3
Найденные корни разбивают область числовой прямой на три интервала: (-∞, -3); (-3, 3); (3, +∞).
Исследуем знаки выражения (x — 3)(x + 3) внутри каждого интервала:
(-∞, -3): (-)(-) = +
(-3, 3): (-)(+) = —
(3, +∞): (+)(+) = +
Поскольку мы ищем значения переменной x, при которых выражение (x — 3)(x + 3) меньше нуля, мы интересуемся только интервалом (-3, 3).
Решение: x принадлежит интервалу (-3, 3).
2) Неравенство: x^2 ≤ 4
Перепишем неравенство в виде двух равенств:
x^2 — 4 ≤ 0
(x — 2)(x + 2) ≤ 0
Находим корни уравнения (x — 2)(x + 2) = 0:
x — 2 = 0 => x = 2
x + 2 = 0 => x = -2
Найденные корни разбивают область числовой прямой на три интервала: (-∞, -2); (-2, 2); (2, +∞).
Исследуем знаки выражения (x — 2)(x + 2) внутри каждого интервала:
(-∞, -2): (-)(-) = +
(-2, 2): (-)(+) = —
(2, +∞): (+)(+) = +
Поскольку мы ищем значения переменной x, при которых выражение (x — 2)(x + 2) меньше или равно нулю, мы интересуемся интервалами (-∞, -2] и [2, +∞).
Решение: x принадлежит интервалу (-∞, -2] и [2, +∞).
3) Неравенство: (x — 7)^2 + 1 > 0
Выражение (x — 7)^2 + 1 всегда будет больше нуля, так как у квадрата всегда неотрицательное значение, а прибавление положительного числа к неотрицательному числу также дает положительное число.
Решение: неравенство выполняется для всех значений x.
4) Неравенство: (2 — 5x)^2 ≤ 16
Перепишем неравенство в виде двух равенств:
(2 — 5x)^2 — 16 ≤ 0
((2 — 5x) — 4)((2 — 5x) + 4) ≤ 0
(-5x — 2 — 4)(-5x — 2 + 4) ≤ 0
(-5x — 6)(-5x + 2) ≤ 0
Находим корни уравнения (-5x — 6)(-5x + 2) = 0:
-5x — 6 = 0 => x = -6/5
-5x + 2 = 0 => x = 2/5
Найденные корни разбивают область числовой прямой на три интервала: (-∞, -6/5); (-6/5, 2/5); (2/5, +∞).
Исследуем знаки выражения (-5x — 6)(-5x + 2) внутри каждого интервала:
(-∞, -6/5): (-)(-) = +
(-6/5, 2/5): (+)(-) = —
(2/5, +∞): (+)(+) = +
Поскольку мы ищем значения переменной x, при которых выражение (-5x — 6)(-5x + 2) меньше или равно нулю, мы интересуемся интервалами (-∞, -6/5] и [2/5, +∞).
Решение: x принадлежит интервалу (-∞, -6/5] и [2/5, +∞).
5) Неравенство: 49 — (3x + 2)^2 ≤ 0
Раскрываем скобки:
49 — 9x^2 — 12x — 4 ≤ 0
45 — 9x^2 — 12x ≤ 0
Решаем квадратное уравнение 9x^2 + 12x — 45 = 0:
D = b^2 — 4ac = 12^2 — 4 * 9 * (-45) = 144 + 1620 = 1764
√D = √1764 = 42
x1 = (-12 + 42) / 18 = 30 / 18 = 5/3
x2 = (-12 — 42) / 18 = -54 / 18 = -3
Найденные корни разбивают область числовой прямой на три интервала: (-∞, -3); (-3, 5/3); (5/3, +∞).
Исследуем знак выражения 49 — 9x^2 — 12x внутри каждого интервала:
(-∞, -3): (-) = —
(-3, 5/3): (+) = +
(5/3, +∞): (-) = —
Поскольку мы ищем значения переменной x, при которых выражение 49 — 9x^2 — 12x меньше или равно нулю, мы интересуемся интервалом (-3, 5/3].
Решение: x принадлежит интервалу (-3, 5/3].