Чему равна производная функции f(x)=2x+ctgx в точке x0=π/6?

Для решения задачи нам необходимо найти производную функции f(x)=2x+ctgx в точке x0=π/6.

Начнем с выражения функции через элементарные функции:
ctg(x) = cos(x) / sin(x)

Теперь можем выразить f(x) через sin(x) и cos(x):
f(x) = 2x + cos(x) / sin(x)

Далее необходимо найти производную от f(x). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования суммы и правилом дифференцирования произведения.

Производная от 2x будет равна 2.

Для выражения cos(x) / sin(x) воспользуемся правилом дифференцирования частного:
d/dx (cos(x) / sin(x)) = (sin(x)*d/dx(cos(x)) — cos(x)*d/dx(sin(x))) / (sin(x))^2

Применяя уже известные нам производные, получим:
d/dx (cos(x) / sin(x)) = (sin(x)*(-sin(x)) — cos(x)*cos(x)) / (sin(x))^2

Приведем числитель и знаменатель к общему знаменателю sin(x) и упростим выражение:
d/dx (cos(x) / sin(x)) = (-sin^2(x) — cos^2(x)) / (sin^2(x))

Теперь можем записать производную функции f(x) в точке x0:
f'(x) = 2 + (-sin^2(x) — cos^2(x)) / (sin^2(x))

Теперь подставим x0=π/6 в это выражение и рассчитаем значение:
f'(π/6) = 2 + (-sin^2(π/6) — cos^2(π/6)) / (sin^2(π/6))

С помощью тригонометрических тождеств мы можем упростить эту формулу следующим образом:
(-sin^2(π/6) — cos^2(π/6)) / (sin^2(π/6)) = (-1/4 — 3/4) / (1/4) = -4/4 / 1/4 = -4

Таким образом, производная функции f(x)=2x+ctgx в точке x0=π/6 равна -4.